一、年金定義

年金（annuity）是指一定時期內(nèi)每次等額收付的系列款項，通常用a來表示。

年金最初就是指一年一次的付款，但是后來有很多跟年金一樣的性質(zhì)的付款出現(xiàn)，但是其時間間隔不是一年，還有的是一年一次的收款，慢慢的，年金的指代的范圍就擴大了，雖然現(xiàn)在年金所指代的范圍擴大了，但是依然沿用年金這個叫法；

年金的特點在于等額、等期、等息，是一種理想化的收付款項，等額是指每次收付款的金額相等，等期是指經(jīng)過相同的時間間隔就會發(fā)生一次收付款，等息是指年金整個收支過程，利率是保持不變的。

二、年金的分類

按照年金收付款時間點和其他收付條件的不同，年金分為普通年金、預(yù)付年金、遞延年金和永續(xù)年金；

普通年金：又稱為后付年金，是指從第一期起，在連續(xù)間隔期相等的多個時期中，每期期末收付等額年金的年金；

預(yù)付年金：又稱先付年金、即付本金或期初年金，是指從第一期起，在連續(xù)間隔期相等的多個時期中，每期期初等額收付的系列款項，預(yù)付年金與普通年金的區(qū)別僅在于收付款時間點不同，普通年金發(fā)生在期末，而預(yù)付年金發(fā)生在期初。

遞延年金：是指在第一期開始，遞延一定時期后，開始在在連續(xù)間隔期相等的多個時期中，每期期末支付等額年金的年金，遞延年金是普通年金的一種特殊形式；

永續(xù)年金：是等額收付年金的期限無限的一種特殊的普通年金。

三、年金的計算

年金是一種特殊形式的收付款項，核算年金的目的是幫助使用者衡量收支，所以年金的應(yīng)用在于計算年金的終值f（futurevalue或者finalvalue，也叫本利和，即本金和利息的和）和現(xiàn)值p（presentvalue），當然有時候也會要計算收付次數(shù)n（n也代表年金收支的期數(shù)）、利率i、年金a。

計算年金的時候，不是站在收款方或者付款方的角度，而是站在一個與年金收付無關(guān)系的第三方角度，來計算年金的現(xiàn)值和終值；

因為年金現(xiàn)值和終值的計算基礎(chǔ)是資金的復利計算，所以先介紹資金在復利情況下現(xiàn)值和終值的計算：

復利現(xiàn)值：p=f*(1+i)^-n，(1+i)^-n也稱為復利現(xiàn)值系數(shù)，記作(p/f，i，n)

復利終值：f=p*(1+i)?，(1+i)?也稱為為復利終值系數(shù)，記作(f/p，i，n)

普通年金現(xiàn)值和終值的計算

普通年金現(xiàn)值和終值的計算也就是將每一次的收付款按復利計算現(xiàn)值或終值，然后在再加總求和；

原始公式：

p=a（1+i）^-1+a（1+i）^-2+……+a（1+i）^-n

f=a（1+i）^1+a（1+i）^2+……+a（1+i）^（n-1）

公式中的每一項對應(yīng)的就是年金中的一次收付款，通過將每一次收付款按照復利現(xiàn)值（復利終值）公式算出現(xiàn)值（終值）之后，再求和，就得到年金現(xiàn)值（年金終值）的公式了；

如果使用該公式計算，年金收付次數(shù)較多時，計算起來很繁瑣，為了方便計算，通過推導可以將公式簡化如下：

p=a*[1-(1+i)^-n]/i

f=a*[(1+i)^n-1]/i

將公式右邊年金以外部分視為系數(shù)（分別稱作年金現(xiàn)值系數(shù)和年金終值系數(shù)），通過查詢相關(guān)系數(shù)表找出對應(yīng)的值，可以進一步簡化計算；

p=a*(p/a，i，n)

f=a*(f/a，i，n)

例題：2020年初張某因工作原因要出國工作三年，擬在銀行存入一筆款項請家人分次取出正好付清三年房屋物業(yè)費，每年支付兩次，一次是6月末一次是12月末，每次3000元，若存款年利率是6%，那么張某出國前應(yīng)存入銀行多少錢？（(p/a，3%，6)=5.4172）

該題中求的是普通年金現(xiàn)值，因為每年支付兩次，三年就是6次，收付款次數(shù)n=6，利率也要與收付款間隔期對應(yīng)，所以利率i=3%；

可以使用原始公式進行計算，就是將每一次支付的物業(yè)費按其支付的時間點折現(xiàn)到2020年初，然后再將所有現(xiàn)值的和加起來，就可以得到年金現(xiàn)值，在這里十三就不詳細列出原始公式計算過程了；

用年金現(xiàn)值系數(shù)可以算出

p=3000*(p/a，3%，6)=16251.60

預(yù)付年金現(xiàn)值和終值的計算

原始公式：

p=a（1+i）^-1+a（1+i）^-2+……+a（1+i）^-（n-1）

f=a（1+i）^2+a（1+i）^3+……+a（1+i）^（n）

和普通年金的原始公式計算的原理相同，公式中的每一項對應(yīng)的是預(yù)付年金中的一次收付款，通過將每一次收付款按照復利現(xiàn)值（終值）公式算出現(xiàn)值（終值）之后，再求和，就得到預(yù)付年金現(xiàn)值（終值）的公式了；

預(yù)付年金同樣可以通過推導進行簡化，但是還有一個更加簡便的方法，預(yù)付年金和普通年金的區(qū)別在于收付款的時間點，普通年金收付款的時間點在每期的期末，而預(yù)付年金的收付款時間點在每期的期初，這個差異就導致預(yù)付年金每一次收付款的現(xiàn)值要比普通年金收付款的現(xiàn)值少折現(xiàn)一次，也就是少除以一次（1+i），所以預(yù)付年金的現(xiàn)值可由普通年金現(xiàn)值公式算出：

p=a*(p/a，i，n)*（1+i）

同樣的原理，對于預(yù)付年金的終值，每一次收付款的終值要比普通年金多算一次利息，也就是多乘以一次（1+i），所以預(yù)付年金的終值就等于

f=a*(f/a，i，n)*（1+i）

如此一來，預(yù)付年金的現(xiàn)值和終值都等于普通年金的現(xiàn)值和終值乘以（1+i），對于預(yù)付年金的計算就轉(zhuǎn)化成了普通年金的計算；

例題：某公司擬在5年后還清100萬元債務(wù)，從現(xiàn)在起每年年初存入銀行一筆款項。假設(shè)銀行存款利率為10%，則每年應(yīng)存入銀行多少元？（(f/a，10%，5)=6.1051）

這里求的是預(yù)付年金每年付款金額a，已知終值f=100萬，利率i=10%，付款次數(shù)n=5，用普通年金公式來計算預(yù)付年金終值，普通年金的付款次數(shù)n和利率i與預(yù)付年金的相等，

1000000=a*(f/a，10%，5)*（1+10%）

解得a=148906.80元

遞延年金現(xiàn)值和終值的計算

遞延年金是一種特殊的普通年金，所以在計算時可以用普通年金的公式進行計算，應(yīng)該注意的是對于遞延期數(shù)的處理，假設(shè)m代表遞延的期數(shù)，收付款次數(shù)為n；

遞延年金的現(xiàn)值

方法一

遞延年金的現(xiàn)值等于“收付次數(shù)為遞延期數(shù)m與收付次數(shù)n之和的普通年金現(xiàn)值”減去“收付次數(shù)為遞延期數(shù)m的普通年金現(xiàn)值”的差，公式如下：

p=a*(p/a，i，m+n)-a*(p/a，i，m)

之所以可以這樣計算，其實是因為對于以（m+n）為收付次數(shù)的普通年金，我們要求的遞延年金現(xiàn)值，少了前面m次收付款的折現(xiàn)值，而這m次收付款的折現(xiàn)值就等于收付次數(shù)為m的普通年金現(xiàn)值，所以就有了上述公式；

方法二

遞延年金的現(xiàn)值等于收付次數(shù)為n的普通年金現(xiàn)值再按遞延期數(shù)m計算復利現(xiàn)值，公式如下：

p=a*(p/a，i，n)*(p/f，i，m)

這樣計算的原理在于，現(xiàn)將遞延年金視為普通年金，計算出在第m期末的價值，這時候就相當于計算收付次數(shù)為n的普通年金現(xiàn)值，我們最終要求的是處于當前時點的現(xiàn)值，所以再將之前計算的普通年金現(xiàn)值按m期計算復利現(xiàn)值，就得到我們所要求的結(jié)果了；

方法三

遞延年金的現(xiàn)值等于收付次數(shù)為n的普通年金終值再按收付次數(shù)（m+n）計算復利現(xiàn)值，公式如下：

p=a*(f/a，i，n)*(p/f，i，m+n)

其實這樣計算的原理和方法二是相似的，先將遞延年金視為普通年金，算出其在m+n期末的終值，需要求當前時點的現(xiàn)值，就等于將之前計算結(jié)果按m+n期折現(xiàn)的復利現(xiàn)值；

例題：某企業(yè)近期付款購買了一臺設(shè)備，總價款為100萬元，從第二年年末開始付款，分五年平均支付，年利率為10%，則該設(shè)備的現(xiàn)值是多少？（(p/a,10%,6)=4.3553、(p/a,10%,1)=0.9091、(p/a,10%,5)=3.7908、(p/f,10%,1)=0.9091、(f/a,10%,5)=6.1051、(p/f,10%,6)=0.5645）

該題是求遞延年金現(xiàn)值，遞延期數(shù)m=1，收付次數(shù)n=5，年金a=100/5=20萬元，利率i=10%，

方法一

遞延年金的現(xiàn)值等于“收付次數(shù)為6（m+n=6）的普通年金現(xiàn)值”減去“收付次數(shù)為1（m=1）的普通年金現(xiàn)值”的差；

p=20*(p/a,10%,6)-20*(p/a,10%,1)=68.92

方法二

遞延年金的現(xiàn)值等于收付次數(shù)為5（n=5）的普通年金現(xiàn)值再按遞延期數(shù)1（m=1）計算復利現(xiàn)值，公式如下：

p=20*(p/a,10%,5)*(p/f,10%,1)=68.92

方法三

遞延年金的現(xiàn)值等于收付次數(shù)為5（n=5）的普通年金終值再按收付次數(shù)6（m+n=6）計算復利現(xiàn)值，公式如下：

p=20*(f/a,10%,5)*(p/f,10%,6)=68.92

遞延年金終值

遞延年金的終值和收付次數(shù)為n的普通年金終值是一樣的，因為收付次數(shù)同為n，遞延年金最初一筆收付款和普通年金的第一筆收付款的終值都是a*（1+i）^（n-1），經(jīng)過比較可以發(fā)現(xiàn)，遞延年金每一筆收付款的終值，和普通年金對應(yīng)次數(shù)收付款的終值的計算方式是一樣的，所以遞延年金終值公式就是普通年金的終值公式；

f=a*(f/a，i，n)

永續(xù)年金的計算

永續(xù)年金沒有終值，因為永續(xù)年金沒有最終期，永續(xù)年金會一直收支款項；

永續(xù)年金的現(xiàn)值等于p=a/i，可由普通年金現(xiàn)值公式，求當收付次數(shù)n趨于無窮大時推導出來；

插值法估計利率i或收付次數(shù)n

對于年金現(xiàn)值或終值公式，一般來說有4個變量，即現(xiàn)值p或終值f、年金a、利率i和收付次數(shù)n，在計算中，一般是知道其中的三個，然后求未知的一個，其中比較特殊的是求利率i和收付次數(shù)n；

這是因為在計算中，我們將公式進行了簡化，將i和n包含到了現(xiàn)值系數(shù)或者終值系數(shù)中，而且用原始公式計算較為繁瑣，不夠方便，使用插值法計算則相對簡單；

用插值法進行計算，首先由現(xiàn)有條件可得到一個關(guān)于利率i或者收付次數(shù)n的一元方程，以年金現(xiàn)值公式為例，由條件一般可知p、a，假設(shè)已知收付次數(shù)n，求利率i，則此時可得函數(shù)p/a=（p/a，i，n），此時可以將方程左邊看成一個整體b，視為因變量，因為收付次數(shù)n已知，該函數(shù)就是一個以i為自變量的一元函數(shù)；

然后再選取這一個一元函數(shù)中離所知點（因為p、a和n已知，所以在直角坐標系中，所知點為（i，p/a））最近的兩個點，可以通過年金現(xiàn)值系數(shù)表來找出，一個大于一個小于所知點值的點，如下圖，

由直角三角形的關(guān)系就可以得出a/b=c/d

也即(i-i1)/(i2-i1)=(b1-b)/(b1-b2)，通過年金現(xiàn)值系數(shù)表，其他兩個點的對應(yīng)的值我們是知道的，那么這個方程就只有一個未知數(shù)i，所以通過這個方程我們就可以求得i；

之所以能通過三角形關(guān)系來計算出利率i，是因為插值法假設(shè)我們選取的這三個點足夠接近，以致于可以視為這三個點在一條直線上，比如地球是圓的，但當你選取的地球上兩個點之間的距離足夠小時，兩點之間就可以看做是直線，就像我們平常不會感覺到地球表面是圓的一樣，就是因為相對于地球來說，我們所處的點足夠小；

小結(jié)：插值法計算的關(guān)鍵在于借由年金現(xiàn)值或終值公式構(gòu)建一個關(guān)于所要求的的利率i或者收付次數(shù)n的一元函數(shù)，另外還需要兩個已知的函數(shù)點來幫助求解，可通過系數(shù)表來查找。

例題：某公司向銀行借入12000元，借款期為3年，每年年末還本付息額為4600元，（p/a,7%,3）=2.6243，（p/a,8%,3）=2.5571，則借款利率為多少？

該題中已知現(xiàn)值p=12000，收付次數(shù)n=3，年金a=4600，求利率i，

第一步，先利用年金現(xiàn)值公式構(gòu)建一個方程

p/a=（p/a，i，3）

第二步，目前所知點為（i，p/a=12000/4600=2.6087）,此時離他最近的一個值大于他的點和一個值小于他的點就是題目給的兩個點（7%,2.6243）、（8%,2.5571），利用插值法可以得到

（i-7%）/（8%-7%）=（2.6243-2.6087）/（2.6243-2.5571）

解方程得i=7.33%

總結(jié)：各種年金的計算都可以轉(zhuǎn)化成普通年金的計算，插值法的計算推理過程較為復雜，可以直接記憶公式來進行計算。

聲明：財經(jīng)知識介紹系列是十三自己的學習心得和體會，僅供大家學習交流使用，如有不足或錯誤的地方，還請大家指出。